Залежність дальності перельоту об'єкта від кута кидання
Вступ:
При русі тіл в однорідному гравітаційному полі, їх траєкторії представляють собою параболи. І вирішуючи завдання щодо дальності польоту, як функції початкової швидкості і кута кидання тіла, можна знайти максимальну дальність перельоту:
А, отже, і зворотне рішення для початкових, кута і швидкості кидання тіла, при яких забезпечується переліт на заданий, максимальну відстань.
Кут
При розгляді руху тіл в сферично симетричному гравітаційному полі, їх траєкторії, представляють собою еліпси, в одному з фокусів яких, знаходиться джерело гравітаційного поля (у разі сферично симетричних тіл - центр притягає центрального тіла). Якщо кидання тел проводити з поверхні центрального тіла (Планети), то дальність перельоту (тобто відстань від точки кидання до точки падіння) можна представити у вигляді довжини дуги на поверхні сфери. Тоді, вирішуючи балістичну завдання, можна знайти такі початкову швидкість і початковий кут кидання тіла, при яких забезпечується переліт тіла, на задану відстань з найменшими енерговитратами.
Вступ:
При русі тіл в однорідному гравітаційному полі, їх траєкторії представляють собою параболи. І вирішуючи завдання щодо дальності польоту, як функції початкової швидкості і кута кидання тіла, можна знайти максимальну дальність перельоту:
А, отже, і зворотне рішення для початкових, кута і швидкості кидання тіла, при яких забезпечується переліт на заданий, максимальну відстань.
Кут
При розгляді руху тіл в сферично симетричному гравітаційному полі, їх траєкторії, представляють собою еліпси, в одному з фокусів яких, знаходиться джерело гравітаційного поля (у разі сферично симетричних тіл - центр притягає центрального тіла). Якщо кидання тел проводити з поверхні центрального тіла (Планети), то дальність перельоту (тобто відстань від точки кидання до точки падіння) можна представити у вигляді довжини дуги на поверхні сфери. Тоді, вирішуючи балістичну завдання, можна знайти такі початкову швидкість і початковий кут кидання тіла, при яких забезпечується переліт тіла, на задану відстань з найменшими енерговитратами.
Рішення:
Для вирішення даного завдання в першу чергу знайдемо функцію дальності перельоту кинутого тіла від початкової швидкості і початкового кута кидання. А так само всебічно вивчимо цю залежність.
Як видно з рисунка, для знаходження
Оскільки
(Де
Те, висловлюючи значення параметра і ексцентриситету орбіти через
Для простоти позначимо:
У результаті матимемо:
Отже, ми отримали залежність дальності перельоту кинутого тіла від початкових швидкості і кута кидання. Так як при незначних швидкостях кидання і дальність перельоту кинутого тіла також буде незначна, а в якості траєкторії кинутого тіла буде виступати апоцентріческая околиця еліпса, яка апроксимується (наближається) параболою, то можна очікувати, що при невеликій швидкості (швидкостях, багато менших першої космічної швидкості ) кидання, максимальна дальність буде забезпечуватися при куті кидання, близьким до значення
Дійсно, зобразивши графічно залежність дальності кидання тіла [Km] від кута вектора швидкості до горизонту, (при фіксованій швидкості) можна простежити даний факт.
B = 0.1
B = 0.6
B = 0.9
З графіків видно, що при незначних швидкостях кидання, максимум залежності припадає на кут рівний 45 градусів від горизонту. А при подальшому збільшенні швидкостей, максимум дальності перельоту зміщується в бік малих кутів. І при наближенні швидкості кидання до кругової швидкості (першою космічною), вище наведена залежність переходить у пряму, яка має максимальне значення при 0 градусів, рівне
B = 1.0
Тобто ми побачили, що максимальна дальність перельоту тіла, при фіксованій швидкості кидання, забезпечується при певному куті, який є функцією швидкості кидка. Щоб знайти даний кут, продиференціюємо функцію дальності кидка по куті кидання і після чого, прирівнявши її до нуля, висловимо значення кута.
А після підстановки даного виразу назад в залежність дальності, знайдемо максимальне відстань кидка, яке можна забезпечити при заданій початковій швидкості
Вирішуючи зворотну задачу, можна знаючи відстань, на яку необхідно кинути тіло, знайти ту оптимальну швидкість і кут кидка, при яких забезпечиться переліт тіла на даний відстань з найменшими енерговитратами.
Для вирішення даної задачі, складемо квадратне рівняння для вираження
Щоб оцінити коріння рівняння, побудуємо графіки для
Так як
З графіків квадратного рівняння можна помітити, що при малих відстанях кидка, два кореня даного рівняння практично збігаються в околиці
І знаходячи позитивне рішення даного рівняння, маємо:
Звідки легко отримати значення швидкості, при якій забезпечується переліт на задану відстань (по оптимальній траєкторії).
Оскільки
А, підставляючи цей вираз у формулу для оптимального кута, знайдемо значення кута, при якому забезпечується переліт.
Отже, завдання виконане!
Усі графіки побудовані на прикладі кидання тіл з Місячної поверхні:
Примітки:
1. Перицентр - найбільш віддалена від центрального тіла точка еліптичної орбіти.
2. Апоцентріческая околиця-околиця еліпса, в близи точки Перицентр.
3.
4. Поняття ексцентриситету орбіти вводиться в аналітичній геометрії при вивченні кривих другого порядку (конічних перетинів). Ексцентриситет характеризує ступінь витягнутості орбіти (еліпса), і для замкнутих орбіт лежить в інтервалі від 0 до 1. Тобто для абсолютно круглої орбіти ексцентриситет дорівнює 0, для параболічної орбіти його значення дорівнює 1, для гіперболічних траєкторій значення ексцентриситету більше 1.
У разі замкнутих орбіт:
5.
Для вирішення даного завдання в першу чергу знайдемо функцію дальності перельоту кинутого тіла від початкової швидкості і початкового кута кидання. А так само всебічно вивчимо цю залежність.
Як видно з рисунка, для знаходження
Оскільки
(Де
Те, висловлюючи значення параметра і ексцентриситету орбіти через
Для простоти позначимо:
У результаті матимемо:
Отже, ми отримали залежність дальності перельоту кинутого тіла від початкових швидкості і кута кидання. Так як при незначних швидкостях кидання і дальність перельоту кинутого тіла також буде незначна, а в якості траєкторії кинутого тіла буде виступати апоцентріческая околиця еліпса, яка апроксимується (наближається) параболою, то можна очікувати, що при невеликій швидкості (швидкостях, багато менших першої космічної швидкості ) кидання, максимальна дальність буде забезпечуватися при куті кидання, близьким до значення
Дійсно, зобразивши графічно залежність дальності кидання тіла [Km] від кута вектора швидкості до горизонту, (при фіксованій швидкості) можна простежити даний факт.
B = 0.1
B = 0.6
B = 0.9
З графіків видно, що при незначних швидкостях кидання, максимум залежності припадає на кут рівний 45 градусів від горизонту. А при подальшому збільшенні швидкостей, максимум дальності перельоту зміщується в бік малих кутів. І при наближенні швидкості кидання до кругової швидкості (першою космічною), вище наведена залежність переходить у пряму, яка має максимальне значення при 0 градусів, рівне
B = 1.0
Тобто ми побачили, що максимальна дальність перельоту тіла, при фіксованій швидкості кидання, забезпечується при певному куті, який є функцією швидкості кидка. Щоб знайти даний кут, продиференціюємо функцію дальності кидка по куті кидання і після чого, прирівнявши її до нуля, висловимо значення кута.
А після підстановки даного виразу назад в залежність дальності, знайдемо максимальне відстань кидка, яке можна забезпечити при заданій початковій швидкості
Вирішуючи зворотну задачу, можна знаючи відстань, на яку необхідно кинути тіло, знайти ту оптимальну швидкість і кут кидка, при яких забезпечиться переліт тіла на даний відстань з найменшими енерговитратами.
Для вирішення даної задачі, складемо квадратне рівняння для вираження
Щоб оцінити коріння рівняння, побудуємо графіки для
Так як
З графіків квадратного рівняння можна помітити, що при малих відстанях кидка, два кореня даного рівняння практично збігаються в околиці
І знаходячи позитивне рішення даного рівняння, маємо:
Звідки легко отримати значення швидкості, при якій забезпечується переліт на задану відстань (по оптимальній траєкторії).
Оскільки
А, підставляючи цей вираз у формулу для оптимального кута, знайдемо значення кута, при якому забезпечується переліт.
Отже, завдання виконане!
Усі графіки побудовані на прикладі кидання тіл з Місячної поверхні:
Примітки:
1. Перицентр - найбільш віддалена від центрального тіла точка еліптичної орбіти.
2. Апоцентріческая околиця-околиця еліпса, в близи точки Перицентр.
3.
4. Поняття ексцентриситету орбіти вводиться в аналітичній геометрії при вивченні кривих другого порядку (конічних перетинів). Ексцентриситет характеризує ступінь витягнутості орбіти (еліпса), і для замкнутих орбіт лежить в інтервалі від 0 до 1. Тобто для абсолютно круглої орбіти ексцентриситет дорівнює 0, для параболічної орбіти його значення дорівнює 1, для гіперболічних траєкторій значення ексцентриситету більше 1.
У разі замкнутих орбіт:
5.